APPLICAZIONI DI CALCOLO SCIENTIFICO E LABORATORIO DI ACS (dall'A.A. 2022-2023)
Topic outline
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Applicazioni di Calcolo Scientifico
e Laboratorio di ACS
(12 CFU)
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Docente: prof. Mariarosaria Rizzardi (Parte I e II)
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Il Corso è annuale ed è suddiviso in due parti tenute entrambe dalla prof. Mariarosaria Rizzardi.
L'esame è unico. Gli studenti che frequentano le lezioni e partecipano alle attività laboratoriali possono sostenere l'esame mediante due colloqui: sulla Parte I e sulla Parte II rispettivamente, di cui viene calcolata la media. Le date dei colloqui sulla Parte I sono fissate di comune accordo tra docente e studenti. Il calendario dei colloqui sulla Parte II coincide con quello dell'esame completo e appare nel portale ESSE3. Solo per il colloquio sulla Parte II è necessaria la prenotazione in ESSE3.
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Introduzione al corso
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MATLAB
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Installazione e configurazione di MATLAB. Personalizzare il Desktop di MATLAB.
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Richiami sull'uso di MATLAB. Tipi di dati primitivi. Modalità interattiva. Grafica 2D e 3D.
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Simboli LaTeX utilizzabili in MATLAB
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Altra documentazione LaTeX
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Primo Live Script d'esempio
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Uso avanzato dell'Editor e del Live Editor di MATLAB. Il Linguaggio di programmazione di MATLAB: costrutti di controllo, script e function, funzioni ricorsive, alcune funzioni predefinite, array multidimensionali.
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Primo Script d'esempio
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Introduzione ai dati strutturati in MATLAB: sparse matrix, cell array, structure, categorical array, table.
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MATLAB Basic Functions Reference (pdf)
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Il Symbolic Math Toolbox di MATLAB
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Esempi
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Calcolo Numerico in MATLAB: richiami ed approfondimenti
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4a) Matrici, risoluzione di sistemi lineari, fattorizzazioni di una matrice
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4b) Fitting di dati discreti, interpolazione di superfici.
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Esempio
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Tutorial: leggere dati altimetrici da file testo
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4c) Richiami sui numeri complessi.
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4d) Interpolazione Trigonometrica.
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Esempi
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4f) Derivazione numerica.
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4g) Equazioni Differenziali Ordinarie
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Esercizi di ricapitolazione su parte I
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Definizioni ed esempi in R2 e in R3. Indipendenza lineare e basi di uno spazio. Dimensione di uno Spazio o Sottospazio Lineare, e relative proprietà. I quattro sottospazi fondamentali di una matrice.
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Prodotto scalare tra vettori reali e complessi. Norma di vettori e norma indotta da un prodotto scalare. Legge del Parallelogramma. Norma matriciale indotta. Applicazioni: angoli tra sottospazi, componente di un vettore lungo un altro vettore, retta e piano tangente, retta normale.
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Sottospazio "somma" e "somma diretta". Sottospazio "complementare" e "complemento ortogonale".Relazione di Grassmann ed altre proprietà.Intersezione di sottospazi lineari.Teorema Fondamentale dell’Algebra Lineare (sui 4 sottospazi fordamentali di una matrice).Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt; sua relazione con la fattorizzazione QR.
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Spazi e sottospazi Affini e loro proprietà. Parallelismo tra sottospazi affini. Intersezione di sottospazi affini. Punti affinemente indipendenti e sistemi di riferimento affini.
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Trasformazioni lineari (o omomorfismi) e proprietà. Definizioni di isomorfismi, endomorfismi, automorfismi. Kernel e Range di una trasformazione lineare. Trasformazioni lineari iniettive e suriettive. Teor.: R(AT) e R(A) sono isomorfi. Automorfismo come cambiamento di base; vantaggio nell'uso di una base ortonormale. Esempi di trasformazioni lineari elementari 2D e 3D. Fattorizzazione di una tA 2D in trasf. lineari elementari. Alcune proprietà delle metrici ortogonali. Matrici inverse generalizzate, Teor. ABCD, pseudoinverse ed inverse sinistre o destre. Soluzioni di un sistema indeterminato. Soluzione di minima norma euclidea di un sistema indeterminato.
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Trasformazioni affini reali e Teorema di rappresentazione. Affinità. Esempi. Principali proprietà. Costruzione di trasformazioni affini, assegnati N punti nel dominio Rn e le loro immagini nel codominio Rm: condizione per assicurarne l'unicità. Trasformazioni affini reali elementari in R2 ed in R3. Matrice della traslazione in coordinate omogenee. Vantaggio delle coordinate omogenee: confronto delle complessità computazionali della roto-traslazione di N punti in coordinate cartesiane ed in coordinate omogenee. Uso della funzione MATLAB patch() per disegnare oggetti 3D.
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Richiami su autovalori ed autovettori. Calcolo degli autovalori e degli autovettori. Spettro, Raggio Spettrale e Teorema dei cerchi di Gershgorin per localizzare gli autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Proprietà degli autovalori e degli autovettori di matrici qualsiasi e di matrici simmetriche. Interpretazione geometrica di autovalori e di autovettori. Autovalori ed autovettori di particolari matrici simmetriche. Autovalori ed autovettori di alcune applicazioni lineari. Diagonalizzazione. Relazione tra SVD e diagonalizzazione. Esempi di Applicazioni della diagonalizzazione.
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Cenni di statistica inferenziale (matrice dei dati. Media campionaria. Matrice centrata e matrice standardizzata. Scatter matrix. matrice di covarianza e matrice di correlazione): da un punto di vista statistico, e da un punto di vista dell'Algebra Lineare. Idea della PCA. Derivazione dell'algoritmo PCA Incrementale. Algoritmi PCA. Interpretazione geometrica della PCA. Applicazione PCA: l'algoritmo "Eigenfaces" per il riconoscimento di facce. Regressione in 2D ed in 3D. PCA vs Minimi Quadrati.
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